«Старшинские» - ударение в слове
В упомянутом выше слове ударение следует ставить на слог с первой буквой И — старшИнские.
старшИнские.
Старшинские - образовано от слова старшинский
Примеры
Частым явлением стало назначение им на старши́нские должности полковников, сотников, что нарушало демократические традиции выборности старшины. — Д. А. Безьев, Украина и Речь Посполитая в первой половине XVII в., 2012
Но отказался от этого, ибо получалось, что я отмежёвываюсь от большой группы своих товарищей, имеющих звания младшего начальствующего состава и носящих старши́нские, сержантские знаки различия и гладкие погоны рядовых. — В. Т. Томин, Избранные труды, 2004