«Затасканностью» - ударение в слове
В таком слове ударение ставят на слог со второй буквой А — затАсканностью.
затАсканностью.
Затасканностью - творительный падеж слова затасканность
Примеры
Ненадоедливо, изысканно и в то же время не режет глаз зата́сканностью деревянного шпона. — Галина Романова, Обмани меня красиво, 2008